Llei d’Ohm / Llei de Kirchhoff mitjançant equacions diferencials lineals de primer ordre

Proveu El Nostre Instrument Per Eliminar Problemes





En aquest article intentem entendre la llei d'Ohm i la llei de Kirchhoff mitjançant fórmules i explicacions d'enginyeria estàndard i aplicant una equació diferencial lineal de primer ordre per resoldre exemples de conjunts de problemes.

Què és un circuit elèctric

Un circuit elèctric més senzill generalment té la forma d’un circuit en sèrie que té una font d’energia o una força electromotriu, com una bateria o un generador de corrent continu, i una càrrega resistiva que consumeix aquesta energia, per exemple una bombeta elèctrica, tal com es mostra a el diagrama següent:





En referència al diagrama, quan l’interruptor està tancat, actual Jo travessa la resistència, provocant que es generi un voltatge a través de la resistència. És a dir, quan es mesuren, les diferències de potencial als dos punts finals de la resistència mostraran valors diferents. Això es pot confirmar mitjançant un voltímetre.


A partir de la situació explicada anteriorment, la llei estàndard d'Ohm es pot deduir com:

La caiguda de tensió ER a través d’una resistència és proporcional al corrent instantani I i es pot expressar com:

ER = RI (Equació núm. 1)

A l’expressió anterior, R es defineix com la constant de proporcionalitat i s’anomena resistència de la resistència.

Aquí mesurem el voltatge ÉS en volts, la resistència R en Ohms, i l'actual Jo en amperes.

Això explica la llei d'Ohm en la seva forma més bàsica dins d'un circuit elèctric simple.
En circuits més complexos, s’inclouen dos elements essencials més en forma de condensadors i inductors.



Què és un inductor

Es pot definir un inductor com un element que s’oposa a un canvi de corrent, creant un efecte semblant a la inèrcia en el flux d’electricitat, tal com fa una massa en sistemes mecànics. Els experiments han obtingut el següent per als inductors:

La caiguda de tensió EL a través d'un inductor és proporcional a la velocitat instantània de canvi del corrent I. Això es pot expressar com:

EL = L dl / dt (Equació # 2)

on L es converteix en la constant de proporcionalitat i es denomina inductància de l’inductor i es mesura en henris. El temps t es dóna en segons.

Què és un condensador

Un condensador és simplement un dispositiu que emmagatzema energia elèctrica. Els experiments ens permeten obtenir la següent explicació:

La caiguda de tensió d'un condensador és proporcional a la càrrega elèctrica instantània Q del condensador, que es pot expressar com:

EC = 1 / C x Q (Equació # 3)

on C es denomina capacitat , i es mesura en farades el càrrec Q es mesura en Coulombs.

No obstant això, des de llavors I C) = dQ / dt, podem escriure l'equació anterior com:



El valor del corrent Jo (t) es pot resoldre en un circuit determinat resolent l’equació produïda per l’aplicació de la llei física següent:

Comprendre la llei de Kirchhoff (KVL)

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) va ser un físic alemany, les seves lleis populars es poden entendre tal com es narra a continuació:

La llei actual de Kirchhoff (KCL) estableix que:

En qualsevol punt d’un circuit, la suma dels corrents d’entrada és igual a la suma del corrent de sortida.

La Llei de tensió de Kirchhoff (KVL) estableix que:

La suma algebraica de totes les caigudes de tensió instantànies al voltant de qualsevol bucle tancat és nul·la o la tensió impressa en un bucle tancat és igual a la suma de les caigudes de tensió a la resta del bucle.

Exemple 1: Referint-nos al diagrama RL següent, i combinant l’equació # 1,2 i la tensió de Kirchhoff, podem obtenir la següent expressió:

Equació: 4



Considerem aquest cas A amb una força electromotriu constant:



A l’equació # 4 descrita anteriorment si E = E0 = constant, podem conduir la següent equació:

Equació: 5

Aquí l'últim terme s'aproxima a zero com t tendeix a procedir a l'infinit, de manera que Jo (t) tendeix al valor limitant E0 / R. Després d'un retard adequadament llarg, arribaré a una pràctica constant, sense dependre del valor de c, la qual cosa també implica que això serà independent d'una condició inicial que puguem ser forçats per nosaltres.

Considerant que la condició inicial és, I (0) = 0, obtenim:

Equació: 5 *




Cas B (força electromotriu periòdica):




Tenint en compte E (t) = Eo sin ωt, llavors, tenint en compte l’equació # 4, la solució general per al cas B es pot escriure com:
(∝ = R / L)


Integrar-lo per parts ens proporciona:





Això es pot derivar encara més com:
ઠ = arc fins ωL / R

Aquí el terme exponencial tendeix a aproximar-se a zero ja que t tendeix a arribar a l'infinit. Això implica que un cop transcorregut un període de temps suficientment llarg, el corrent I (t) aconsegueix unes oscil·lacions pràcticament harmòniques.




Anterior: Què és la saturació del transistor Següent: Anàlisi de línia de càrrega en circuits BJT