El simple moviment harmònic és inventat pel baró matemàtic francès Jean Baptiste Joseph Fourier el 1822. Edwin Armstrong (18 de desembre de 1890 a 1 de febrer de 1954) va observar oscil·lacions el 1992 en els seus experiments i Alexander Meissner (14 de setembre de 1883 a 3 de gener de 1958) oscil·ladors al març de 1993. El terme harmònic és una paraula llatina. En aquest article es parla d’una visió general de l’oscil·lador harmònic que inclou la seva definició, tipus i aplicacions.
Què és l'oscil·lador harmònic?
L’oscil·lador harmònic es defineix com un moviment en el qual la força és directament proporcional a la partícula des del punt d’equilibri i produeix sortida en forma d’ona sinusoïdal. La força que causa l'harmònic moviment es pot expressar matemàticament com
F = -Kx
On,
F = Força de restauració
K = constant de primavera
X = Distància de l'equilibri
diagrama-bloc-d'oscil·lador-harmònic
Hi ha un punt en moviment harmònic en què el sistema oscil·la i la força que porta la massa una i altra vegada en el mateix punt des d’on comença, la força s’anomena força de restauració i el punt s’anomena punt d’equilibri o posició mitjana. Aquest oscil·lador també es coneix com a oscil·lador harmònic lineal . L’energia flueix de manera activa components als components passius de l’oscil·lador.
Diagrama de blocs
El diagrama de blocs de l’oscil·lador harmònic consisteix en un amplificador i una xarxa de retroalimentació. L'amplificador s'utilitza per amplificar els senyals i que els senyals amplificats passen per una xarxa de retroalimentació i generen la sortida. On Vi és el voltatge d’entrada, Vo és el voltatge de sortida i Vf és el voltatge de retroalimentació.
Exemple
Missa a la primavera: El ressort proporciona una força de recuperació que accelera la massa i la força de recuperació s’expressa com
F = ma
On ‘m’ és la massa i a és una acceleració.
massa en una primavera
La molla consisteix en una massa (m) i una força (F). Quan la força arrossega la massa en un punt x = 0 i depèn només de la posició x de la massa i la constant de la molla es representa amb una lletra k.
Tipus d’oscil·lador harmònic
Els tipus d’aquest oscil·lador inclouen principalment els següents.
Oscil·lador harmònic forçat
Quan apliquem força externa al moviment del sistema, es diu que el moviment és un oscil·lador harmònic forçat.
Oscil·lador harmònic amortit
Aquest oscil·lador es defineix com quan apliquem força externa al sistema, el moviment de l’oscil·lador es redueix i es diu que el seu moviment és un moviment harmònic amortit. Hi ha tres tipus d’oscil·ladors harmònics amortits que són
formes d'ona d'amortiment
Més esmorteït
Quan el sistema es mou lentament cap al punt d’equilibri, es diu que és un oscil·lador harmònic sobredimensionat.
Sota Esmorteït
Quan el sistema es mou ràpidament cap al punt d’equilibri, es diu que és un oscil·lador harmònic sobredimensionat.
Crític esmorteït
Quan el sistema es mou ràpidament sense oscil·lar al voltant del punt d'equilibri, es diu que és un oscil·lador harmònic sobredimensionat.
Quàntic
Està inventat per Max Born, Werner Heisenberg i Wolfgang Pauli a la 'Universitat de Göttingen'. La paraula quàntica és la paraula llatina i el significat de quàntic és una petita quantitat d’energia.
Energia de punt zero
L'energia de punt zero també es coneix com a energia fonamental. Es defineix quan l'energia de l'estat fonamental sempre és superior a zero i aquest concepte és descobert per Max Planck a Alemanya i la fórmula desenvolupada el 1990.
Energia mitjana de l’equació d’oscil·lador harmònic simple amortit
Hi ha dos tipus d’energies: són l’energia cinètica i l’energia potencial. La suma d’energia cinètica i energia potencial és igual a l’energia total.
E = K + U ………………. Equació (1)
On E = energia total
K = Energia cinètica
U = Energia potencial
On k = k = 1/2 mv2………… eq (2)
U = 1/2 kx2………… eq (3)
valors de cicle-oscil·lació-per-mitjana
Els valors mitjans d'energia cinètica i potencial per cicle d'oscil·lació són iguals a
On v2= v2(A2-x2) ....... eq (4)
Substituirà l’eq (4) per l’equació (2) i l’equació (3)
k = 1/2 m [w2(A2-x2)]
= 1/2 m [Aw cos (wt + ø0)]2…… eq (5)
U = 1/2 kx2
= 1/2 k [A sin (wt + ø0)]2…… eq (6)
El substitut de l’eq (5) i l’eq (6) de l’eq (1) obtindrà el valor energètic total
E = 1/2 m [w2(A2-x2)] + 1/2 kx2
= 1/2 m w2-1/2 m w2A2+ 1/2 kx2
= 1/2 m w2A2+1/2 x2(K-mw2) ....... eq (7)
On mw2= K , substituïu aquest valor per l’eq (7)
E = 1/2 K A2- 1/2 Kx2+ 1/2 x2= 1/2 K A2
Energia total (E) = 1/2 K A2
Les energies mitjanes d’un període de temps s’expressen com
Amitjana= Umitjana= 1/2 (1/2 K A2)
Funció d'ona d'oscil·lador harmònic
L’operador hamiltonià s’expressa com una suma d’energia cinètica i energia potencial i s’expressa com
ђ (Q) = T + V ……………… .eq (1)
On ђ = operador hamitoniano
T = Energia cinètica
V = Energia potencial
Per generar la funció d'ona, hem de conèixer l'equació de Schrodinger i l'equació s'expressa com
-đ2/ 2μ * d2ѱnosaltres(Q) / dQ2+ 1 / 2KQ2ѱnosaltres(Q) = Enosaltresѱnosaltres(Q) …………. eq (2)
On Q = Longitud de la coordenada normal
Μ = Massa efectiva
K = Constant de força
Les condicions del límit de l’equació de Schrodinger són:
Ѱ (-∞) = ø
Ѱ (+ ∞) = 0
També podem escriure l’equació (2) com
d2ѱnosaltres(Q) / dQ2+ 2μ / đ2(Enosaltres-K / 2 * Q2) ѱnosaltres(Q) = 0 ………… eq (3)
Els paràmetres utilitzats per resoldre una equació són
β = ђ / √μk ……… .. eq (4)
d2/ dQ2= 1 / β2d2/ dx2………… .. eq (5)
Substituïu l’eq (4) i l’eq (5) a l’eq (3), llavors l’equació diferencial d’aquest oscil·lador esdevé
d2ѱnosaltres(Q) / dx2+ (2μb2Inosaltres/ đ2- x2) ѱnosaltres(x) = 0 ……… .. eq (6)
L’expressió general de les sèries de potència és
ΣC¬nx2 …………. eq (7)
Una funció exponencial s'expressa com
exp (-x2/ 2) ………… eq (8)
eq (7) es multiplica per eq (8)
ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)
Els polinomis hermites s’obtenen mitjançant l’equació següent
ђnosaltres(X) = (-1)nosaltres* exp (x2) d / dxnosaltres* exp (-x2) …………… .. eq (10)
La constant normalitzadora s’expressa com
Nnosaltres= (1/2nosaltresυ! √Π)1/2…………… .eq (11)
El solució d'oscil·lador harmònic senzill s'expressa com
Ѱnosaltres(x) = NnosaltresHnosaltres(I) i-x2 / 2……………… eq (12)
On Nυés la constant de normalització
H nosaltres és l’ermita
és -x2 / 2és el gaussià
Una equació (12) és la funció d'ona de l'oscil·lador harmònic.
Aquesta taula mostra el primer terme polinomis hermites per als estats d'energia més baixos
| nosaltres | 0 | 1 | 2 | 3 |
Hnosaltres(I) | 1 | 2y | 4y2-2 | 8y3-12 anys |
Les funcions d 'ona del gràfic d'oscil·lador harmònic simple per a quatre estats d’energia més baixa es mostren a les figures següents.
funcions d'ona-d'oscil·lador harmònic
Les densitats de probabilitat d’aquest oscil·lador per als quatre estats d’energia més baixes es mostren a les figures següents.
densitats de probabilitat de formes d'ona
Aplicacions
El simplé oscil·lador harmònicLes aplicacions inclouen principalment les següents
- Sistemes d'àudio i vídeo
- Ràdio i altres dispositius de comunicació
- Inversors , Alarmes
- Zumbadors
- Llums decoratius
Avantatges
El avantatges de l’oscil·lador harmònic són
- Barat
- Generació d'alta freqüència
- Alta eficiència
- Barat
- Portàtil
- Econòmic
Exemples
L'exemple d'aquest oscil·lador inclou el següent.
- Instruments musicals
- Pèndol simple
- Sistema de moll massiu
- Swing
- El moviment de les agulles del rellotge
- El moviment de les rodes de cotxes, camions, autobusos, etc
És un tipus de moviment que podem observar en les nostres bases diàries. Harmònic oscil·lador funció d'ona mitjançant Schrodinger i es deriven equacions de l'oscil·lador harmònic. Aquí hi ha una pregunta: quin tipus de moviment realitza el salt de pont?
