Les matemàtiques tenen un paper decisiu per comprendre el comportament i el funcionament de elèctric i sistemes electrònics . Polinomis, àlgebra, probabilitat, integracions i diferenciacions, etc. formen una part significativa de les eines que s’utilitzen per resoldre els sistemes. Amb la complexitat creixent dels sistemes, es requereixen mètodes molt sofisticats. Les equacions diferencials s’utilitzen de manera destacada per definir sistemes de control. Aquestes equacions són fàcils de resoldre. Però la complexitat sorgeix mentre es resolen equacions diferencials d’ordre superior. Per resoldre equacions diferencials d'ordre superior tan complexes, el mètode matemàtic que va demostrar ser eficaç és Transformada de Laplace . Com que aquesta transformació s’utilitza àmpliament, és útil saber per a què significaven realment i com funcionen.

Què és una transformada de Laplace?

En matemàtiques, les transformades s'apliquen per transformar una variable d'una forma a una altra per fer que l'equació sigui fàcil de manejar. Laplace transforma fa gairebé el mateix. Transformen l'equació diferencial d'ordre superior en una forma polinòmica que és molt fàcil que resoldre directament l'equació diferencial.

Però hi ha diverses transformacions com la transformada de Fourier, la transformació z fa que la transformació de Laplace sigui especial? El principal avantatge de la transformada de Laplace és que es defineixen tant per a sistemes estables com inestables, mentre que les transformades de Fourier només es defineixen per a sistemes estables.

Fórmula de transformada de Laplace

Una transformada de Laplace de la funció f (t) en un domini temporal, on t és el nombre real major o igual a zero, es dóna com a F (s), on hi ha s és el nombre complex en el domini de la freqüència, és a dir. s = σ + jω
L'equació anterior es considera com unilateral Equació de la transformada de Laplace . Quan els límits s'estenen a tot l'eix real, llavors Transformada de Laplace bilateral es pot definir com
En circuits pràctics com Circuits RC i RL generalment, s’utilitzen les condicions inicials, de manera que les transformades de Laplace d’un sol costat s’apliquen amb finalitats d’anàlisi.
Com s = σ + jω, quan σ = 0 les transformades de Laplace es comporten com a transformades de Fourier.

“filtre de pas baix filtre de pas alt ”

Fórmules de transformada de Laplace

Condicions d'aplicació de la transformada de Laplace

Les transformades de Laplace s’anomenen transformades integrals, de manera que hi ha condicions necessàries per a la convergència d’aquestes transformades.
és a dir, f ha de ser localment integrable per a l’interval [0, ∞) i segons si σ sigui positiva o negativa, e ^ (- σt) pot estar en decadència o en creixement. Per a les transformacions bilaterals de Laplace en lloc d'un valor únic, la integral convergeix en un cert rang de valors coneguts com a Regió de Convergència.

Propietats de la transformada de Laplace:

Linealitat

Canvi de temps

Maj en el domini S.

Inversió del temps

Diferenciació en domini S.

Convolució en el temps

Teorema del valor inicial

El teorema del valor inicial s'aplica quan a la transformada de Laplace el grau del numerador és inferior al grau del denominador Teorema del valor final:

Si tots els pols de sF (s) es troben a la meitat esquerra del teorema del valor final del pla S.

Transformada de Laplace inversa

A causa de la convergència, la característica transformada de Laplace també té una transformada inversa. Les transformades de Laplace mostren un mapatge individualitzat d'un espai de funció a un altre. La fórmula de la transformada de Laplace inversa és

“interruptor centrífug per a motor monofàsic ”

Com es calcula la transformada de Laplace?

La transformada de Laplace fa que les equacions siguin més fàcils de manejar. Quan es dóna una equació diferencial d'ordre superior, se li aplica la transformada de Laplace que converteix l'equació en una equació algebraica, cosa que facilita la seva manipulació. Després calculem les arrels simplificant aquesta equació algebraica. Ara es troba la transformada inversa de Laplace d’expressió més senzilla que resol l’equació diferencial d’ordre superior donada.

Càlcul de la transformada de Laplace

Aplicacions de la transformada de Laplace

Anàlisi elèctrica i circuits electrònics .
Desglossar equacions diferencials complexes en formes polinòmiques més simples.
La transformada de Laplace proporciona informació sobre estats estables i transitoris.
En l’aprenentatge automàtic, la transformada de Laplace s’utilitza per fer prediccions i fer anàlisis en l’explotació de dades.
La transformada de Laplace simplifica els càlculs en la modelització de sistemes.

Aplicació de la transformada de Laplace en el processament del senyal

Les transformades de Laplace solen optar pel processament del senyal. Juntament amb la transformada de Fourier, el Transformada de Laplace s’utilitza per estudiar senyals en el domini de la freqüència. Quan hi ha petites freqüències en el senyal en el domini de la freqüència, es pot esperar que el senyal sigui suau en el domini del temps. El filtratge d’un senyal es fa generalment en el domini de freqüències en què Laplace actua com una eina important per convertir un senyal de domini de temps en domini de freqüència.

Aplicació de sistemes de control de transformada de Laplace

Els sistemes de control solen estar dissenyats per controlar el comportament d'altres dispositius. Exemple de sistemes de control pot anar des d’un simple controlador de calefacció de la llar fins a un sistema de control industrial que regula el comportament de la maquinària.

Generalment, els enginyers de control utilitzen equacions diferencials per descriure el comportament de diversos blocs funcionals de bucle tancat. La transformada de Laplace s’utilitza aquí per resoldre aquestes equacions sense la pèrdua d’informació variable crucial.

Caracterització de sistemes lineals de temps invariables mitjançant transformada de Laplace

Per a un sistema ROC casual associat al sistema, la funció és el mig pla dret. Un sistema és anti-casual si la seva resposta a l’impuls h (t) = 0 per t> 0.

Si ROC de les funcions del sistema H (s) inclou l'eix jω, llavors el L.T.I. el sistema s’anomena sistema estable. Si un sistema casual amb funcions racionals del sistema H (s) té parts reals negatives per a tots els seus pols, el sistema és estable.

Així, la transformada de Laplace és una eina crucial per analitzar circuits. Podem dir que un estetoscopi és per al metge les transformacions de Laplace són per a enginyer de control. Com considereu les transformades de Laplace? De quina manera us han estat útils?